|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях)
Дифференциальные уравнения и математическая физика
О задаче Дирихле для эллиптического уравнения
А. К. Гущин Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва, 119991, Россия
(публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International)
Аннотация:
Хорошо известно, что естественно возникающее из вариационных принципов и удобное в применении понятие обобщённого решения из соболевского пространства
$W_2^1$ задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка не является в буквальном смысле обобщением понятия классического решения: не любая непрерывная на границе области функция является следом функции из $W_2^1$. Обобщение обоих этих понятий было предложено в 1976 году Валентином Петровичем Михайловым, памяти которого посвящена настоящая работа. В определении Михайлова граничное значение решения берется из $L_2$; естественно обобщается это понятие и на случай граничной функции из $L_p$, $p > 1$. Впоследствии автором настоящей работы было доказано, что при выполнении не слишком обременительных условий такие решения обладают свойством $(n-1)$-мерной непрерывности. Это свойство аналогично классическому определению равномерной непрерывности, но вместо значения функции в точке следует рассматривать её следы на мерах из специального класса, немного более узкого, чем класс мер Карлесона.
След функции на мере является элементом пространства $L_p$ по этой мере. $(n-1)$-мерная непрерывность означает, что следы на мерах близки, если близки эти меры. Определение близости мер учитывает близость (в специальном смысле) их носителей, а расстояние между следами (они элементы различных пространств) вводится с помощью погружения в пространство функций удвоенного числа переменных. Свойство $(n-1)$-мерной непрерывности позволило дать другое, по форме весьма близкое к классическому определение решения — $(n-1)$-мерно непрерывное решение. Как и понятия классического и обобщённого решений оно не требует условий гладкости границы рассматриваемой области.
В отличие от случаев классического и обобщённого решений задача Дирихле в постановке Михайлова и тем более с $(n-1)$-мерно непрерывным решением исследована недостаточно полно. Прежде всего это относится к условиям на правую часть уравнения, при которых задача Дирихле разрешима. В работе приведён ряд новых результатов в этом направлении. Кроме того, обсуждаются условия на коэффициенты уравнения, границу ограниченной области, в которой рассматривается задача, и заданные граничные значения решений. При этом результаты о разрешимости и о граничном поведении решений сравниваются с аналогичными теоремами, относящимися к случаю классического и обобщённого решений, обсуждаются некоторые возникающие при таком сравнении нерешённые задачи.
Ключевые слова:
эллиптическое уравнение, задача Дирихле, функциональное пространство.
Поступила в редакцию 19/XII/2014 в окончательном варианте – 05/II/2014
Образец цитирования:
А. К. Гущин, “О задаче Дирихле для эллиптического уравнения”, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 19:1 (2015), 19–43
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/vsgtu1383 https://www.mathnet.ru/rus/vsgtu/v219/i1/p19
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 777 | PDF полного текста: | 459 | Список литературы: | 81 |
|