Оценка порядка аппроксимации матричного метода численного интегрирования краевых задач для линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

Использование трёх первых членов разложения в ряд Тейлора искомой функции при аппроксимации производных конечными разностями приводит ко второму порядку аппроксимации традиционного метода численного интегрирования краевых задач для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами. В работе рассмотрен предложенный ранее метод численного интегрирования, использующего средства матричного исчисления, в котором аппроксимация производных конечными разностями не использовалась. Согласно указанному методу при составлении системы разностных уравнений может быть использовано произвольное число членов разложения в ряд Тейлора искомого решения задачи. При использовании трёх первых членов разложения система разностных уравнений совпадает с традиционной системой. В работе дана оценка невязки и порядка аппроксимации метода в зависимости от числа используемых членов разложения в ряд Тейлора. Теоретически показано, что для краевой задачи с граничными условиями первого рода порядок аппроксимации метода возрастает прямо пропорционально с увеличением числа используемых членов разложения в ряд Тейлора лишь для нечётных значений этого числа. Для чётных значений числа членов порядок аппроксимации совпадает с порядком аппроксимации для числа, меньшего на единицу нечётного значения. Для краевых задач с граничными условиями второго и третьего рода порядок аппроксимации оказался прямо пропорциональным числу используемых членов разложения в ряд Тейлора искомого решения задачи независимо от чётности. В этих случаях порядок аппроксимации в граничных точках, следовательно, и всей задачи, оказался на единицу меньше порядка для внутренних точек сетки разбиения отрезка интегрирования. Дан метод повышения порядка аппроксимации в граничных точках до порядка аппроксимации во внутренних точках сетки. Теоретические выводы подтверждены численным экспериментом для краевой задачи с граничными условиями первого и третьего рода.