Асимптотика спектра семейства функционально-дифференциальных операторов с суммируемым потенциалом

В статье изучается функционально-дифференциальный оператор высокого порядка с суммируемым потенциалом. Граничные условия являются разделёнными и регулярными. Операторы такого типа называются нагруженными. Исходное функционально-дифференциальное уравнение сводится к интегральному уравнению Вольтерра. С помощью метода последовательных приближений Пикара при больших значениях спектрального параметра найдены асимптотические формулы и оценки для решений функционально-дифференциального уравнения, задающего дифференциальный оператор. С помощью полученных асимптотических формул изучаются граничные условия. Собственные значения изучаемого оператора являются корнями функции, представленной в виде определителя высокого порядка. Для нахождения корней этой функции необходимо изучить индикаторную диаграмму. Корни уравнения на собственные значения находятся в шестнадцати секторах бесконечно малого раствора, определяемых индикаторной диаграммой. В каждом из секторов индикаторной диаграммы изучено поведение корней этого уравнения. Получена асимптотика собственных значений исследуемого дифференциального оператора. Функционально-дифференциальные операторы такого рода возникают при изучении колебаний мостов и балок, составленных из материалов различной плотности, с нагрузкой во внутренней точке.