Консервативные расширения моделей слабо о-минимальных теорий

Пусть $M\prec N$. Говорят, что пара моделей $(M,N)$ есть консервативная пара, или $N$ есть консервативное расширение $M$, если для любого кортежа элементов $\overline{\alpha}$ из $N$, $\mathrm{tp}(\overline{\alpha}|M)$ определим. Мы будем говорить, что элементарное расширение $N$ модели $M$ есть $D$-$\omega$-насыщено для $M$, если любой определимый $q\in S_1(M\cup\overline{\alpha})$ ($\overline{\alpha}\in N$) реализуется в $N$; и $N$ есть $CD$-$\omega$-насыщено для $M$, если любой не-изолированный 1-тип $q\in S_1(M\cup\overline{\alpha})$, определяемый формульным подмножеством $\phi$-типа, реализуется в $N$.
Мы докажем, что любая модель, любой слабо о-минимальной теории (за исключением о-минимальных обогащений моделей теории $Th(\langle w+w^*;=,<\rangle)$), имеет консервативное расширение. Центральным результатом статьи является критерий существования $D$-$\omega$-насыщенного консервативного расширения модели слабо о-минимальной теории (Теорема 2). Из доказательства этой теоремы следует, что для любой модели слабо о-минимальной теории существует $CD$-$\omega$-насыщенное консервативное расширение (Следствие 5). Существование консервативного расширения и $CD$-$\omega$-насыщенного консервативного расширения для о-минимальных моделей было доказано, соответственно в статьях [23,33].