Основанные на тригонометрии базисы и их преимущества

Показано, что на любом конечном отрезке базис из тригонометрических функций приобретает высокое аппроксимирующее качество при нетрадиционном его применении. В таком варианте решение интегральных уравнений с ядрами вида $K(x-t)$ по методу Галеркина позволяет свести сложные двойные интегралы к простым однократным интегрированиям. Также предложены специфические базисные функции, приспособленные для решения задач с эллиптическим оператором при разрывных коэффициентах. Характерным качеством построенных базисов является автоматическое выполнение условий сопряжения в решениях этих задач в местах разрывов коэффициентов уравнений. Другим существенным качеством базиса является высокоточная аппроксимация кусочно-гладких решений упомянутых задач малым числом базисных функций. Все обоснования результатов следуют из двух приведенных теорем.