Равномерная лемма Морса и критерий изотопности функций Морса на поверхностях

Пусть $M$ – гладкая, компактная (ориентируемая или неориентируемая) поверхность с пустым или непустым краем. Пусть $\mathcal{D}_0\subset\operatorname{Diff}(M)$ – группа диффеоморфизмов, гомотопных $\operatorname{id}_M$. Две гладкие функции $f,g : M\to\mathbb{R}$ называются изотопными, если $f=h_2\circ g\circ h_1$ для некоторых диффеоморфизмов $h_1\in\mathcal{D}_0$ и $h_2\in\operatorname{Diff}^+(\mathbb{R})$. Пусть $F$ – пространство функций Морса на $M$, постоянных на каждой компоненте края и не имеющих критических точек на крае. Доказан критерий изотопности функций Морса из $F$. Для каждой функции Морса $f\in F$ построен набор морсовских локальных координат в попарно не пересекающихся круговых окрестностях ее критических точек, непрерывным и $\operatorname{Diff}(M)$-эквивариантным образом зависящий от $f$ в $C^\infty$-топологии на $F$ (“равномерная лемма Морса”). Описаны приложения этих результатов к задаче о нахождении гомотопического типа пространства $F$.