Выпуклость шара в пространстве Громова–Хаусдорфа

В работе изучается пространство $\mathcal{M}$ всех непустых, рассматриваемых с точностью до изометрии метрических компактов, которое наделено расстоянием Громова–Хаусдорфа. Показано, что в $\mathcal{M}$ шар с центром в одноточечном пространстве является выпуклым в слабом смысле, т.е. всякие две точки такого шара можно соединить кратчайшей, которая принадлежит этому шару, и невыпуклым в сильном смысле: неверно, что всякая кратчайшая, соединяющая точки шара, принадлежит этому шару. Также показано, что шар достаточно малого радиуса с центром в пространстве общего положения выпуклый в слабом смысле.