Инвариантные суммы произведений дифференциалов

На основе предлагаемого способа решения так называемых $(r,s)$-систем линейных уравнений доказано, что порядки однородных инвариантных дифференциальных операторов $n$ гладких вещественных функций одной переменной принимают значения от $n$ до $\frac{n(n+1)}2$, а размерность пространства всех таких операторов не превосходит $n!$. Получена классификация инвариантных дифференциальных операторов порядка $n+s$ для $s=1,2,3,4$, а при $n=4$ – для всех порядков от 4 до 10. Однородные инвариантные дифференциальные операторы самого маленького порядка $n$ и самого большого порядка $\frac{n(n+1)}{2}$ представлены соответственно произведением $n$ первых дифференциалов $(s=0)$ и вронскианом $(s=(n-1)n/2)$. Доказано существование ненулевых однородных инвариантных дифференциальных операторов порядка $n+s$ для $s<\frac{1+\sqrt{5}}{2}(n-1)$.