Об асимптотике решений линейных дифференциальных уравнений нечетного порядка

В работе получены асимптотические формулы при $x\to +\infty$ для фундаментальной системы решений уравнения
$$ l (y): = i^{2n+1}\{ (qy^{(n+1)})^{(n)}+(qy^{(n)})^{(n+1)}\}+py=\lambda y, \qquad x\in I:=[1,~+\infty), $$

где $\lambda $ — комплексный параметр. Предполагается, что $q$ — положительная, непрерывно дифференцируемая функция, $p$ имеет вид $p =\sigma^{(k)}$, $0\le k \le n$, где $\sigma$ — локально интегрируемая на $I$ функция, а производная понимается в смысле теории распределений. Эти формулы в случае, когда $k=0$ и $\lambda \ne 0$, коэффициенты $q$ и $p$ выражения $l (y)$ таковы, что $q=1/2 +q_1$, а $q_1,\sigma(=p)$ интегрируемы на $I$, хорошо известны. Yстановлено, что они справедливы при этих же ограничениях на $q_1$ и $\sigma$ для любого $1\le k \le n-1$. При $k=n$ на эти функции налагаются дополнительные органичения. Отдельно рассматривается случай, когда $\lambda= 0 $.
Получены также асимптотические формулы для решений уравнения $l (y)=\lambda y$ при условии, когда $ q(x) = \alpha x^{2n+1+\nu} (1+r(x))^{-2}, $ $ \sigma(x) = x^{k+\nu}(\beta+ s(x)),$ где $\alpha \ne 0$ и $\beta$ — комплексные числа, $\nu \geqslant 0$, а функции $r $ и $s $ удовлетворяют некоторым условиям интегрального убывания.