Об одной экстремальной задаче для классов сверток, не увеличивающих осцилляцию

Доказана следующая теорема. Пусть $\Lambda_1$ и $\Lambda_2$ – операторы типа свертки, не увеличивающие осцилляцию, и $0<\varepsilon<1$. Тогда: а) существует такое $\widehat{h}$, что
$$ \|(\Lambda_2\circ\Lambda_1\varepsilon_{0,\widehat{h}})(\cdot)\|_{L_\infty(\mathbf R)} =\varepsilon,\quad\text{где}\quad \varepsilon_{0,h}(x)=\operatorname{sign} \sin\frac{\pi x}h; $$
б) для любой функции $u_0(\cdot)$, удовлетворяющей неравенствам
$$ \|u_0(\cdot)\|_{L_\infty(\mathbf R)}\leq1,\quad \|(\Lambda_2\circ\Lambda_1u_0)(\cdot)\|_{L_\infty(\mathbf R)}\leq\varepsilon, $$
выполнено неравенство $\|\Lambda_1u_0(\cdot)\|_{L_\infty(\mathbf R)}\leq \|\Lambda_1\varepsilon_{0,\widehat{\mathbf R}}(\cdot)\|_{L_\infty(\mathbf R)}$.
Этот результат обобщает теорему Колмогорова о неравенствах для производных и ряд других подобных теорем.