О соотношении между нормами в пространствах $C(0{,}2\pi)$ и $U(0{,}2\pi)$

В пространстве $T_n$ тригонометрических многочленов степени не выше $n$ рассматриваются две нормы:
$$ \|f\|_C=\sup_{x\in[0,2\pi]}|f(x)|,\quad \|f\|_U=\max_{0\leq q\leq n}\|\sigma_q(f)\|_C, $$
где $\sigma_q(f)$ – $q$-я частичная сумма тригонометрического ряда Фурье функции $f$. Доказывается, что если $\|\cdot\|=\|\cdot\|_U$ на подпространстве $K\subset T_n$, то $\operatorname{dim}K<10\ln{n}+10$ Доказательство основано на исследовании при $\lambda\to\infty$ асимптотических разложений $\|\delta_q(f+\lambda g)\|_C$ как функций от $\lambda$ для различных $f,g\in K$.