Мультипликаторы периодических решений Хилла в теории движения Луны и метод усреднения

Изучается 2-параметрическое семейство гамильтоновых систем $\mathcal{H}_{\omega,\varepsilon}$ с двумя степенями свободы, где система $\mathcal{H}_{\omega,0}$ описывает задачу Кеплера во вращающихся осях с угловой частотой $\omega$, система $\mathcal{H}_{1,1}$ описывает задачу Хилла, т.е. “предельное” движение Луны в плоской задаче трех тел “Солнце–Земля–Луна” с массами $m_1\gg m_2>m_3=0$. Методом усреднения на подмногообразии доказано существование числа $\omega_0>0$ и гладкого семейства $2\pi$-периодических решений $\gamma_{\omega,\varepsilon}(t)=(\mathbf{q}_{\omega,\varepsilon}(t),\mathbf{p}_{\omega,\varepsilon}(t))$ системы $\mathcal{H}_{\omega,\varepsilon}$, $|\varepsilon|\le1$, $|\omega|\le\omega_0$, такого, что решения $\gamma_{\omega,0}$ являются круговыми, $\gamma_{\omega,\varepsilon} =\gamma_{\omega,0}+O(\omega^2\varepsilon)$ и “масштабированные” движения $\tilde\gamma_{\omega,\varepsilon}(\tilde t):=(\omega^{2/3}\mathbf{q}_{\omega,\varepsilon}(\tilde t/\omega), \omega^{-1/3}\mathbf{p}_{\omega,\varepsilon}(\tilde t/\omega))$ при $0<|\omega|\le\omega_0$ и $\varepsilon=1$ образуют два семейства решений Хилла, т.е. начальные участки известных семейств $f$ и $g_+$ (с обратным и прямым направлением движения) $2\pi\omega$-периодических решений задачи Хилла $\mathcal{H}_{1,1}$. С помощью усреднения доказано, что сумма мультипликаторов решения Хилла $\tilde\gamma_{\omega,1}$ имеет вид $\mathrm{Tr}(\tilde\gamma_{\omega,1})=4-(2\pi\omega)^2 +(2\pi\omega)^3/(4\pi)+O(\omega^4)$. Описаны уточнения и обобщения результата на класс систем, включающий ограниченную задачу трех тел, а также его приложения к планетным системам со спутниками.