Оценка количества перестановочно-упорядоченных множеств

В работе доказывается, что количество $n$-элементных перестановочно-упорядоченных множеств с максимальной антицепью длины $k$ не более $\min\biggl\{{k^{2n}\over (k!)^2}, {(n-k+1)^{2n}\over ((n-k)!)^2}\biggr\}$. Также доказывается, что для количества перестановок $\xi_k(n)$ чисел от 1 до $n$ с максимальной убывающей подпоследовательностью длины не больше $k$ справедливо неравенство ${k^{2n}\over ((k-1)!)^2}.$ Проводится обзор работ, посвященных биекциям и связям между парами линейных порядков, парами диаграмм Юнга, целочисленными двумерными массивами и целочисленными матрицами.