О линейной независимости значений функций, удовлетворяющих функциональным уравнениям Малера

Доказывается следующее утверждение. Пусть совокупность функций $f_1(z),\dots,f_m(z)$, заданная в виде рядов Тейлора по степеням $z$ с рациональными коэффициентами, линейно независима вместе с $1$ над полем $\mathbb{C}(z)$ и удовлетворяет функциональному уравнению
$$ \bar{f}(z)=\mathbf{A}(z)\bar{f}(z^\rho)+\bar{B}(z),\qquad\rho\in\mathbb{Z},\quad\rho\ge2, $$
где $\bar{f}(z)$ – столбец, составленный из функций$f_1(z),\dots,f_m(z)$, a $\mathbf{A}(z)$ и $\bar{B}(z)$ – соответственно $m\times m$-матрица и столбец, состоящие из рациональных функций. Пусть $\alpha=a/b$, $0<|a|^{m+1}<|b|$, – такое рациональное число, что при $z=\alpha$ определены все элементы матриц $\mathbf{A}(z^{\rho^k})$ и столбцов $\bar{B}(z^{\rho^k})$ и определители этих матриц не обращаются в нуль. Тогда числа $1$, $f_1(\alpha),\dots,f_m(\alpha)$ линейно независимы над полем $\mathbb{Q}$.
Библиогр. 3.