Об асимптотическом поведении сумм, связанных с дробями Фарея

В работе доказаны следующие теоремы.
Теорема 1. Для любой функции из класса Липшица степени $0<\alpha<1$ справедлива оценка
$$ R_N\ll\left(\frac1{1-\alpha}\right)\left(\frac{\ln{N}}{\sqrt{N}}\right)\alpha. $$

Теорема 2. Для любой гладкой функции имеет место неравенство
$$ R_N\ll\frac{e^{-c(\ln{N})^{0.6}(\ln\ln{N})^{-0.2}}}{\sqrt N},\quad \mathit{кроме\,того}, \quad R_N=\Omega\left(\frac{\sqrt{\ln\ln{N}}}{N^{\frac34}}\right). $$
Функцию $g(t)\in C^1[0,\infty)$ называют медленно растущей, если $\frac{g'(t)}{g(t)}=o\left(\frac1t\right)$ ($t\to\infty$).
Теорема 3. В классе интегрируемых по Риману в собственном смысле функций при $N\to\infty$ и $M\to\infty$ нельзя получить оценки остатков:
\begin{align} R_M(f,\{y_s\})&=O\left(\frac1{g(M)}\right) \quad (g(M)\to\infty \quad\text{при}\quad M\to\infty), \notag\\ R_N&=O\left(\frac1{g(N)}\right) \quad (g(N)\to\infty \quad\text{при}\quad N\to\infty), \end{align}
где $\{y_s\}$– любая равномерно распределенная последовательность по модулю $1$ и функция $g(x)$ либо растет не медленнее степенной, либо является медленно растущей.
Библиогр. 4.