О глобальных и неглобальных связях между значениями $\mathrm{E}$-функций

Пусть $f_1(z),\dots,f_s(z)$ – совокупность $\mathrm{KE}$-функций, составляющих решение системы линейных дифференциальных уравнений с коэффициентами – рациональными функциями. А. Б. Шидловский выдвинул следующую гипотезу: если $\alpha$ – алгебраическое число, отличное от нуля и от особых точек системы дифференциальных уравнений, то для линейной независивости чисел $1$, $f_1(\alpha),\dots,f_s(\alpha)$ над полем всех алгебраических чисел необходима и достаточна линейная независимость функций 1, $f_1(z),\dots,f_s(z)$ над полем $\mathbb{C}(z)$. Устанавливается, что эта гипотеза эквивалентна тому, что любая связь
$$ P(f_1(\alpha),\dots,f_s(\alpha))=0,\quad P(x_1,\dots,x_s)\in\mathbb{K}[x_1,\dots,x_s], $$
сохраняется при переходе ко всем сопряженным полям. В свою очередь последнее условие выполняется в том и только в том случае, когда
$$ P(f_1(z),\dots,f_s(z))=(z-\alpha)R(z,f_1(z),\dots,f_s(z)), $$
где $R$ – многочлен с коэффициентами из поля $\mathbb{K}$.
Библиогр. 3.