Об одной задаче усреднения решений уравнения Пуассона в областях, имеющих внутреннюю перфорированную границу

Рассматривается задача усреднения решений $u_\varepsilon$ уравнения Пуассона в области, имеющей внутреннюю границу, являющуюся частью $\varepsilon$-периодически перфорированной гиперплоскости. Предполагается, что радиус полостей, которые входят в область, равен $a_\varepsilon$ где $\varepsilon>0$ и $a_\varepsilon>0$ – малые параметры, причем $\varepsilon^{1-n}a_\varepsilon^{n-2}\to A=\operatorname{const}>0$ при $\varepsilon\to0$, $n$ – размерность пространства. Этот случай мы называем “критическим”, так как предельная задача существенно зависит от геометрии перфорированной части границы. На внешней границе задается нулевое условие Дирихле, на внутренней, перфорированной, границе – условие Неймана. В работе исследуется поведение $u_\varepsilon$ при $\varepsilon\to0$, выписывается предельная задача и доказывается слабая сходимость в $H_1$ решений поставленной задачи к решению усредненной.
Ил. 2. Библиогр. 4.