О монотонности и выпуклости сопряженной функции

Получены достаточные условия неотрицательности, монотонности и выпуклости сопряженной функции $\overline{f}$.
Теорема 1. 1) Если $2\pi$-периодическая суммируемая функция $f$ четна и не возрастает, на $(0,\pi)$, то сопряженная функция $\overline{f}$ нечетна и $\overline{f}(x)\ge0$ во всех точках $(0,\pi)$, где $\overline f(x)$ существует, причем если $f$ непостоянна на $(0,\pi)$, то сопряженная функция $\overline{f}(x)>0$ во всех точках $(0,\pi)$, где $\overline{f}(x)$ существует.
2) Если $2\pi$-периодическая суммируемая функция $f$ нечетна и выпукла вниз на $(0,\pi)$, то сопряженная функция $\overline f$ четна, существует и убывает на $(0,\pi)$, причем если $f$ нелинейна на $(0,\pi)$, то $\overline{f}$ строго убывает на $(0,\pi)$.
3) Если $2\pi$-периодическая суммируемая функция $f$ четна и ее производная $f'$ выпукла вниз на $(0,\pi)$, то сопряженная функция $\overline{f}$ нечетна, существует и выпукла вверх на $(0,\pi)$, причем если $f'$ нелинейна на $(0,\pi)$, то сопряженная функция $\overline{f}$ строго выпукла вверх на $(0,\pi)$.
Аналогичная теорема (теорема 2) получена для преобразования Гильберта.
Теорема 3. Если $2\pi$-периодическая суммируемая функция $f$ четна, дифференцируема на $(0,\pi)$ и в точке $\pi$ имеет конечную левую производную $f'_{\text{л}}$, которая выпукла вверх и неположительна на $(0,\pi]$, то сопряженная функция $\overline{f}$ нечетна, существует всюду, неотрицательна и выпукла вниз на $(0,\pi]$, неположительна, выпукла вверх на $[\pi,2\pi)$, $\overline{f}(x)$ убывает на $(0,2\pi)$, причем если $f$ непостоянна на $(0,\pi)$, то $\overline{f}(x)>0$ на $(0,\pi)$ и $\overline{f}(x)<0$ на $(\pi,2\pi)$, а если $f'$ непостоянна на $(0,\pi)$, то $\overline{f}$ строго выпукла вниз на $(0,\pi]$ и строго выпукла вверх на $[\pi,2\pi)$, а также строго убывает на $(0,2\pi)$.
Библиогр. 4.