On the rate of convergence of ergodic averages for functions of Gordin space

 Для автоморфизмов с ненулевой энтропией рассмотрен естественный класс функций, названный пространством Гордина. Это пространство есть линейная оболочка классов Гордина, построенных по некоторой инвариантной относительно автоморфизма фильтрации $\sigma$-алгебр $\mathfrak{F}_n$. Функция из класса Гордина представляет собой ортогональную проекцию относительно оператора $I-E(f|\mathfrak{F}_n)$ некоторой $\mathfrak{F}_m$-измеримой функции. После работы Гордина о применении мартингального метода для доказательства центральной предельной теоремы, эта конструкция получила свое развитие в работах Далибора Волны. В этой обзорной статье мы рассматриваем эту конструкцию в эргодической теории. Показано, что скорость сходимости эргодических средних в $L_2$ норме для функций из пространства Гордина просто вычисляется и равна $\mathcal{O}(\frac{1}{\sqrt{n}}).$ Также показано, что пространства Гордина есть плотное множество первой катеогрии по Бэру в ${L_2(\Omega,\mathfrak{F},\mu)\ominus L_2(\Omega,\Pi(T,\mathfrak{F}),\mu)},$ где $\Pi(T,\mathfrak{F})$ — $\sigma$-алгебра Пинскера.