О надгруппах цикла, богатых трансвекциями

Говорят, что подгруппа $H$ полной линейной группы $GL(n, R)$ порядка $n$ над кольцом $R$ богата трансвекциями, если она содержит элементарные трансвекции $t_{ij}(\alpha)=e+\alpha e_{ij}$ на всех позициях $(i, j)$, $i\neq j$, для некоторых $\alpha\in R$, $\alpha\neq 0$. Это понятие ввел З. И. Боревич, рассматривая задачу описания подгрупп линейных групп, содержащих фиксированную подгруппу. Известно, что надгруппа нерасщепимого максимального тора, содержащая элементарную трансвекцию на некоторой одной позиции, богата трансвекциями. Для коммутативной области $R$ с единицей и цикла $\pi=(1 \ 2 \ \ldots n)\in S_n$ длины $n$ доказано следующее утверждение. Для того чтобы подгруппа $\langle t_{ij}(\alpha),(\pi) \rangle$ полной линейной группы $GL(n, R)$, порожденная матрицей-перестановкой $(\pi)$ и трансвекцией $t_{ij}(\alpha)$, была богата трансвекциями, необходимо и достаточно, чтобы число $i-j$ было взаимно просто с $n$. Система аддитивных подгрупп $\sigma=(\sigma_{ij})$, $1\leq i,j\leq n$, кольца $R$ называется сетью (ковром) над кольцом $R$ порядка $n$, если $\sigma_{ir} \sigma_{rj} \subseteq{\sigma_{ij}} $ при всех значениях индексов $i$, $r$, $j$ (З. И. Боревич, В. М. Левчук). Такая же система, но без диагонали, называется элементарной сетью. Полную или элементарную сеть $\sigma = (\sigma_{ij})$ мы называем неприводимой, если все аддитивные подгруппы $\sigma_{ij}$ отличны от нуля. В работе определяются слабо насыщенные сети, которые играют важную роль в доказательстве основного результата.