Задача Трикоми — Неймана для трехмерного уравнения смешанного типа с сингулярными коэффициентами

В работе исследована задача Трикоми — Неймана для трехмерного уравнения смешанного типа с тремя сингулярными коэффициентами в смешанной области, состоящей из четверти цилиндра и прямоугольной призмой. Доказана однозначная разрешимость поставленной задачи в классе регулярных решений. При этом использован метод Фурье, основанный на разделение переменных. После разделения переменных в гиперболической части смешанной области, появляются задачи на собственные значения для одномерных и двумерных уравнений. Решая эти задачи, находим собственные функции соответствующих задач. Для решения двумерной задачи использована формула, дающая решения задачи Коши — Гурса. В результате найдены решения задач на собственных значений для трехмерного уравнения в гиперболической части. С помощью этих собственных функций и условия склеивания получена нелокальная задача в эллиптической части смешанной области. Для решения задачи в эллиптической части, она была отражена в цилиндрической системе координат, а потом путем разделения переменных получены задачи на собственные значения для двух обыкновенных дифференциальных уравнений. На основании свойства полноты систем собственных функций этих задач доказана теорема единственности. Решение исследуемой задачи построено в виде суммы двойного ряда. При обосновании равномерной сходимости построенных рядов использовались асимптотические оценки функций Бесселя действительного и мнимого аргумента. На их основе получены оценки для каждого члена ряда, что позволило доказать сходимость полученного ряда и его производных до второго порядка включительно, а также теорему существования в классе регулярных решений.