Априорные оценки положительной вещественной или мнимой части обобщенной аналитической функции

Обозначим $D=D_z=\{z : |z|<1\}$ единичный круг комплексной $z$-плоскости, $\Gamma= \partial D$. Хорошо известно следующее свойство гармонических функций. Если вещественная функция $U(z)\in C(\overline D)$ гармонична в $D$, $U(z) |_{z\in \Gamma} \geq K = {\rm const}>0$, то $U(z) \geq K$ для любого $ z \in \overline D$. Предмет настоящей работы — обобщение этого свойства на вещественную (мнимую) часть решения эллиптической в $D$ системы $ \partial_{\bar z} w- q_1(z) \partial_z w - q_2(z) \partial_{\bar z} \overline w +A(z)w+B(z) \overline w=0, $ где $w=w(z)=u(z)+iv(z)$ — искомая комплексная функция, $\partial _{\bar z}=\frac 12 \big(\frac{\partial}{\partial x }+ i \frac{\partial}{\partial y}\big)$, $\partial _{z}=\frac12 \big(\frac{\partial}{\partial x} - i \frac{\partial}{\partial y}\big)$— производные в смысле Соболева, $q_1(z)$ и $q_2(z)$ — заданные измеримые комплексные функции, удовлетворяющие условию равномерной эллиптичности системы $ |q_1(z)| + |q_2(z)| \leq q_0 = {\rm const}<1$, $z\in \overline D$, $A(z), B(z)\in L_p(\overline D)$, $p>2$, — также заданные комплексные функции.