Формула решения смешанной задачи для гиперболического уравнения

Исследуется начально-краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка, являющегося математической моделью процесса поперечных колебаний полуограниченной мембраны. Точнее говоря, рассматривается волновое уравнения для случая двух пространственных переменных вместе с начальными условиями, а также с данными на граничной плоскости. Коэффициент уравнения считается постоянным, а все известные функции имеют непрерывные и ограниченные частные производные до третьего порядка включительно. Доказана теорема существования и единственности классического решения задачи и приводится явная формула для него. Из наиболее близких исследований, прежде всего отмечаются фундаментальные работы академиков О. А. Ладыженской и В. А. Ильина, в которых доказаны теоремы существования и единственности решения смешанных задач при условии принадлежности пространственных переменных ограниченному множеству, что не позволяет учесть, например, вариант полуограниченной мембраны. Другим заметным нашим отличием от упомянутых результатов является вывод формулы типа Пуассона, известной ранее для задачи Коши. Наличие сравнительно простой формулы открывает возможности других исследований. В частности, представляется перспективным использовать доказанную явную формулу решения для постановки и анализа обратных задач, как это широко применяется в теории условно-корректных задач. Некоторая часть статьи содержит рассуждения, довольно типичные для теории волновых уравнений. Вместе с тем, имеются и существенные отличия, к которым, прежде всего, можно отнести анализ интеграла типа Дюамеля, содержащего под интегралом разрывную функцию, в то время как традиционный интеграл Дюамеля содержит только гладкие функции. Вследствие этого, потребовалось специальное подробное исследование свойств такого необычного объекта. В целом выполненную работу можно рассматривать, как развитие уже имеющихся достижений, а также как элемент качественной теории смешанных задач для волновых уравнений.