Оптимальное восстановление семейства операторов по неточным измерениям на компакте

Для однопараметрического семейства линейных непрерывных операторов $T(t)\colon L_2(\mathbb R^d)\to L_2(\mathbb R^d)$, $0\le t<\infty$, рассматривается задача об оптимальном восстановлении значений оператора $T(\tau)$ на всем пространстве по приближенной информации о значениях операторов $T(t)$, где $t$ пробегает некоторый компакт $K\subset \mathbb R_+$ и $\tau\notin K$. Найдено семейство оптимальных методов восстановления значений оператора $T(\tau)$. Каждый из этих методов использует приближенные измерения не более, чем в двух точках из $K$ и линейно зависит от этих измерений. В качестве следствия найдены семейства оптимальных методов восстановления решения уравнения теплопроводности в данный момент времени по неточным его измерениям в другие промежутки времени и решения задачи Дирихле для полупространства на гиперплоскости по неточным его измерениям на других гиперплоскостях. Задача оптимального восстановления значений оператора $T(\tau)$ по указанной информации сводится, в основной своей части, к нахождению значения некоторой экстремальной задачи на максимум с континуумом ограничений типа неравенств, т. е. к нахождению точной верхней грани максимизируемого функционала при данных ограничениях. Эта, довольно сложно устроенная задача, редуцируется, в свою очередь, к бесконечномерной задаче линейного программирования на векторном пространстве всех конечных вещественных мер на $\sigma$-алгебре измеримых по Лебегу множеств в $\mathbb R^d$. Данную задачу уже удается решить, используя некоторое обобщение теоремы Каруша — Куна — Таккера, и ее значение совпадает со значением исходной задачи.