Positive isometries of Orlicz–Kantorovich spaces

Пусть $B$ полная булева алгебра, $Q(B)$ стоуновский компакт для $B$, и пусть $C_\infty (Q(B))$ коммутативная алгебра всех непрерывных функций $x: Q(B) \to [-\infty, +\infty]$, принимающих значения $\pm\infty$ на нигде не плотных подмножествах из $Q(B)$. Мы рассматриваем пространства Орлича — Канторовича $(L_{\Phi}(B,m), \|\cdot\|_{\Phi})\subset C_\infty (Q(B))$ с нормой Люксембурга, построенные по функции Орлича $\Phi$ и векторнозначной мере $m$ со значениями в алгебре действительных измеримых функций. Показывается, что в случае наличия $(\Delta_2)$-условия для функции Орлича ${\Phi}$, норма $\|\cdot\|_{\Phi}$ является порядково непрерывной, т. е. $\|x_n\|_{\Phi}\downarrow \mathbf{0}$ для любой последовательности $\{x_n\}\subset L_{\Phi}(B,m),$ $x_n \downarrow \mathbf{0}$. Кроме того, в этом случае, норма $\|\cdot\|_{\Phi}$ является строго монотонной, т. е. из $|x|\lneqq |y| x, y \in L_{\Phi}(B,m)$ следует, что $\|x\|_{\Phi} \lneqq \|y\|_{\Phi}$. При этом, для положительных элементов $x, y \in L_{\Phi}(B,m)$ равенство $\|x+y\|_{\Phi}=\|x-y\|_{\Phi}$ выполняется тогда и только тогда, когда $x\cdot y = 0$. Используя эти свойства нормы Люксембурга, доказывается, что для любой положительной линейной изометрии $V: L_{\Phi}(B,m) \to L_{\Phi}(B,m)$ существуют такие инъективный нормальный гомоморфизм $T: C_\infty (Q(B)) \to C_\infty (Q(B))$ и положительный элемент $y \in L_{\Phi}(B,m)$, что $V(x )=y\cdot T(x)$ для всех $x\in L_{\Phi}(B,m)$.