Квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности, содержащие наперед заданные узлы

Приближенные методы вычисления определенных интегралов являются актуальными по сегодняшний день. Среди них самыми популярными оказываются методы квадратур, которые позволяют приближенно вычислить интеграл при помощи конечного числа значений интегрируемой функции. Кроме того, во многих случаях требуются затраты меньшего вычислительного труда, сравнительно с другими методами. С применением многочленов Чебышева первого, второго, третьего и четвертого родов соответственно весовым функциям $p(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, $p(x)=\sqrt{1-x^2}$, $p(x)=\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$, $p(x)=\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$, на отрезке $[-1,1]$ строятся квадратурные формулы с наперед заданными узлами $a_1=-1$, $a_2=1$, степени точности $2n+1$ c оценками остаточных членов. В этом деле особое место занимает построение ортогональных многочленов по весу $p(x)(x^2-1)$ и нахождение их корней. Эта задача оказалась трудоемкой и решались методами вычислительной математики.