О многочленах наилучшего приближения сегментных функций

Предложен алгоритм поиска многочлена наилучшего приближения для непрерывной многозначной сегментной функции, заданной на совокупности не пересекающихся отрезков $X=\big(\bigcup_{j_{1}=0}^{n_1}[a_{j_1},b_{j_1}]\big) \cup\big(\bigcup_{k=0}^n x_k\big)$ таких, что $\big(\bigcup_{j_{1}=0}^{n_1}[a_{j_1},b_{j_1}]\big) \cap\big(\bigcup_{k=0}^n x_k\big)=\varnothing$, где не пересекающиеся отрезки $[a_{j_1},b_{j_1}]$ и точки $x_k$ принадлежат ограниченному отрезку $[A,B]\subset \mathbb{R}$. Считаем, что функции $f_{1}$ и $f_{2}$ непрерывны на множестве $X$, и всюду на $X$ значение функции $f_{1}(x)$ не превосходит значение функции $ f_{2}(x)$. Оператор, ставящий в соответствие каждому $x\in X$ отрезок $[(x,f_{1}(x)),(x,f_{2}(x))]$, будем называть сегментной функцией ${\mathcal F} (x)$, заданной на $X$. В силу непрерывности функций $f_{1}$ и $f_{2}$ сегментная функция ${\mathcal F}$ является $h$-полунеперывным отображением сверху. Многочлен $P_{m}=\sum_{i=0}^{m}a_{i}x^{i}$ наилучшего приближения в метрике Хаусдорфа на множестве $X$ сегментной функции ${\mathcal F}$ с вектором коэффициентов $\vec{a}=(a_0,a_1,\dots,a_m)\in {\mathbb{R}^{m+1}}$ есть решение экстремальной задачи $\min_{\vec{a}\in {\mathbb{R}^{m+1}}}\max_{x\in X}\max(P_{m}(x)-f_{1}(x),f_{2}(x)-P_{m}(x)).$ Методами конструктивной теории функций показано, что для любых непрерывных на $X$ функций $f_{1}(x)\le f_{2}(x)$ существует многочлен наилучшего приближения в xаусдорфовой метрике $h$-полунепрерывной сверху на множестве $X$ сегментной функции ${\mathcal F} (x)$. Предложен алгоритм описания множества $Е$ коэффициентов $\vec{a}$ многочленов наилучшего приближения сегментной функции. Получены необходимые и достаточные условия единственности многочлена наилучшего приближения сегментной функции. Приведены результаты численных экспериментов, реализованных с помощью предложенного алгоритма.