Уточненные спектральные свойства задач Дирихле и Неймана для оператора Лапласа в прямоугольной области

В одномерных краевых спектральных задачах размерности собственных подпространств не превосходят некоторого известного числа (как правило 1 или 2). В многомерных самосопряженных задачах с дискретным спектром, несмотря на конечную размерность всех собственных подпространств последовательность кратностей может быть неограничена. Это верно даже для классических краевых задач, решающихся методом разделения переменных. В случае задач Дирихле и Неймана для оператора Лапласа в прямоугольной области $\Omega=(0;a)\times(0;b)$ хорошо известна явная формула $\lambda_{km} = \big(\frac{\pi k}{a}\big)^2 + \big(\frac{\pi m}{b}\big)^2$ для описания всех собственных значений (индексы $k, m$ принимают положительные или неотрицательные значения соответственно для задачи Дирихле или Неймана). Исследование кратностей сводится к подсчету числа различных упорядоченных пар $(k, m)$, соответствующих одному и тому же числу $\lambda_{km}$. На основе классических и новых результатов теории чисел и теории диофантовых приближений в работе изучаются вопросы взаимного расположения, кратностей и асимптотики собственных значений $\lambda_{km}$ в зависимости от параметров $a$ и $b$. В случае квадратной области ($a=b$) описан явный алгоритм подсчета кратности любого собственного значения, основанный на разложении натурального числа на простые сомножители и подсчете числа сомножителей вида $4k+1$. Для прямоугольной области установлена зависимость распределения кратностей от того, являются ли числа $f:=a/b$ и $f^2$ рациональными или нет. В случае $f, f^2 \not\in \mathbb{Q}$ доказано, что все собственные значения однократные, но на сколь угодно близком расстоянии располагается бесконечно много пар собственных значений. На основе уточненной оценки остатка в проблеме круга Гаусса установлена асимптотическая формула Вейля с двумя первыми членами и квалифицированной оценкой остатка.