Область диффузионной неустойчивости для систем параболических уравнений

Рассматривается система двух уравнений реакции-диффузии в ограниченной области $m$-мерного пространства с краевыми условиями Неймана на границе, для которой слагаемые реакции $f(u,v)$ и $g(u,v)$ зависят от двух параметров $a$ и $b$. Предполагается, что система имеет пространственно-однородное решение $(u_0,v_0)$, причем $f_u(u_0,v_0)>0$, а $-g_v(u_0,v_0)=F( \mathrm{Det (\mathrm{J})})$, где $\mathrm{J}$ — матрица Якоби соответствующей линеаризованной системы в бездиффузионном приближении, $F$ — гладкая монотонно возрастающая функция. Предложен способ аналитического описания области необходимых и достаточных условий неустойчивости Тьюринга на плоскости параметров системы при фиксированном коэффициенте диффузии $d$. Показано, что область необходимых условий неустойчивости Тьюринга на плоскости $( \mathrm{Det (\mathrm{J})}, f_u)$ ограничена кривой нулевого следа, дискриминантной кривой и геометрическим местом точек $ \mathrm{Det (\mathrm{J})}=0$. Найдены явные выражения кривых достаточных условий и доказано, что дискриминантная кривая является огибающей семейства этих кривых. Показано, что одна из границ области неустойчивости Тьюринга состоит из фрагментов кривых достаточных условий, выражается через функцию $F$ и собственные значения оператора Лапласа в рассматриваемой области. Найдены точки пересечения кривых достаточных условий и показано, что их абсциссы не зависят от вида функции $F$ и выражаются через коэффициент диффузии и собственные значения оператора Лапласа. Рассмотрен частный случай $F( \mathrm{Det (\mathrm{J})})= \mathrm{Det (\mathrm{J})}$. Для этого случая указан диапазон волновых чисел, при которых возникает неустойчивость Тьюринга. Получено разбиение полуоси $d>1$ на полуинтервалы, каждому из которых соответствует свое минимальное критическое волновое число. Точки пересечения кривых достаточных условий лежат на прямых, не зависящих от коэффициента диффузии $d$. В качестве примеров приложений доказанных утверждений рассматриваются система Шнакенберга и уравнения брюсселятора.