Inverse problem for viscoelastic system in a vertically layered medium

В данной работе рассматривается трехмерная система уравнений вязкоупругости первого порядка, написанная относительно перемещение и тензора напряжения. Эта система содержит свёрточные интегралы ядер релаксации с решением прямой задачи. Прямая задача есть начально-краевая задача для данной системы интегродифференциальных уравнений. В обратной задаче требуется определить ядра релаксации по заданным для некоторых компонент Фурье преобразования по переменным $x_1$ и $x_2$ решения прямой задачи на боковых границах рассматриваемой области. В начале методом сведения к интегральным уравнениям и последующим применением метода последовательных приближений изучаются свойства решения прямой задачи. Для обеспечения непрерывного решения получены условия гладкости и согласования начальных и граничных данных в угловых точках области. Чтобы решить обратную задачу методом характеристик она сводится к эквивалентной замкнутой системе интегральных уравнений вольтерровского типа второго рода относительно преобразования Фурье по первым двум пространственным переменным $x_1$, $x_2$, для решения прямой задачи и неизвестных обратной задачи. Далее к этой системе, написанной в виде операторного уравнения применяется метод сжимающих отображений в пространстве непрерывных функций с весовой экспоненциальной нормой. Показывается, что при подходящем выборе параметра в показателе экспоненты, этот оператор являются сжимающим в некотором шаре, который является подмножеством класса непрерывных функций. Таким образом, доказывается глобальная теорема существования и единственности решения поставленной задачи.