Строение сетей над квадратичными полями

Исследуется структура сетей над квадратичными полями. Пусть $K=\mathbb{Q}(\sqrt{d} )$ — квадратичное поле, $\mathfrak{D}$ — кольцо целых поля $K$. Система $ \sigma = (\sigma_{ij})$, ${1\leq i, j \leq n }$, аддитивных подгрупп поля $K$ называется сетью (ковром) над $K$ порядка $n$, если $\sigma_{ir} \sigma_{rj}\subseteq{\sigma_{ij}}$ при всех значениях индексов $i$, $r$, $j$. Cеть $\sigma = (\sigma_{ij})$ называется неприводимой, если все аддитивные подгруппы $\sigma_{ij}$ отличны от нуля. Сеть $\sigma = (\sigma_{ij})$ называется $D$-сетью, если $1\in\tau_{ii}$, $1\leq i\leq n$. Пусть $\sigma = (\sigma_{ij})$ — неприводимая $D$-сеть порядка $n\geq 2$ над $K$, причем $\sigma_{ij}$ — $\mathfrak{D}$-модули. Мы доказываем, что с точностью до сопряжения диагональной матрицей все $\sigma_{ij}$ являются дробными идеалами фиксированного промежуточного подкольца $P$, $\mathfrak{D}\subseteq P \subseteq K$, а все диагональные кольца совпадают с кольцом $P$: $\sigma_{11}=\sigma_{22}=\ldots =\sigma_{nn}=P$, причем $\sigma_{ij}\subseteq P$ — целые идеалы кольца $P$ при любых $i<j$, если же $i>j$, то $P\subseteq\sigma_{ij}$. Для любых $i$, $j$ мы имеем $\sigma_{1j}\subseteq\sigma_{ij}$.