A counter-example to the Andreotti–Grauert conjecture

В $1962$ г. Андреотти и Грауэрт показали, что любое $q$-полное комплексное пространство $X$ когомологически $q$-полно, т. е. для любого когерентного аналитического пучка ${\mathcal{F}}$ на $X$ группа когомологии $H^{p}(X,{\mathcal{F}})$ исчезает при $p\geq q$. С тех пор вопрос о том, верно ли обратное утверждение, является предметом обширных исследований, в ходе которых появились и другие специальные предположения. До сих пор неизвестно, являются ли эти два утверждения эквивалентны. Используя тестовые классы когомологий было показано, что если $X$ — многообразие Стейна, а $D\subset X$ — открытое множество с $C^{2}$ границей, причем $H^{p}(D, {\mathcal{O}}_{D})=0$ для всех $p\geq q$, то $D$ является $q$-полным. Цель настоящей статьи — дать контрпример к гипотезе Андреотти и Грауэрта 1962 г., показывающий, что когомологически $q$-полное пространство не обязательно является $q$-полным. Точнее мы показали, что для любого $n\geq 3$ существует открытое множество $\Omega\subset\mathbb{C}^{n}$ такое, что для всех ${\mathcal{F}}\in coh(\Omega)$, группы когомологий $H^{p}(\Omega, {\mathcal{F}})$ исчезают для всех $p\geq n-1$, но $\Omega$ не является $(n-1)$-полным.