Неравенства типа Джексона — Стечкина между наилучшими совместными полиномиальными приближениями и одной характеристикой гладкости в пространстве Бергмана

Рассматривается экстремальная задача отыскания точных констант между наилучшими совместными полиномиальными приближениями аналитических функций и его промежуточных производных в пространстве Бергмана. Пусть $U:=\{z:|z|<1\}$ — единичный круг в комплексной плоскости, $B_{2}:=B_{2}(U)$ — пространство Бергмана функций $f$, аналитических в круге $U$, c конечной $L_2$ нормой; $B_{2}^{(r)}:=B_{2}^{(r)}(U)$ $(r\in\mathbb{Z}_{+},$ $B_{2}^{(0)}:=B_{2})$ — класс функций $f\in B_{2}$, у которых $f^{(r)}\in B_{2}$. В работе найдены точные константы в неравенствах типа Джексона — Стечкина для характеристики гладкости $\Lambda_{m}(f)$, $m\in\mathbb{N},$ определенных при помощи усреднения норм конечных разностей $m$-го порядка старшей производной функции $f$, принадлежащей пространству Бергмана $B_{2}$. Также решена экстремальная задача наилучшего совместного полиномиальная приближения класса $W_{2,m}^{(r)}(\Phi):=W_{2}^{(r)}(\Lambda_{m},\Phi)$ $(m\in\mathbb{N}$, $r\in\mathbb{Z}_{+})$ функций из $B_{2}^{(r)},$ $r\in\mathbb{Z}_{+}$, у которой значение характеристики гладкости $\Lambda_{m}(f)$ ограничено сверху мажорантой $\Phi,$ и класса $W_{p,m}^{(r)}(\varphi,h):=W_{p}^{(r)}(\Lambda_{m},\varphi,h)$ $(m\in\mathbb{N}$, $r\in\mathbb{Z}_{+}$, $h\in[0,2\pi],$ $1\le p<\infty,$ $\varphi$ — весовая на $[0,h]$ функция) из $B_{2}^{(r)}$, у которого усредненное с заданным весом значение характеристики гладкости $\Lambda_{m}(f)$ ограничено сверху единицей. Следует отметить, что изложенные в статье результаты являются обобщениями недавно опубликованные результаты второго автора [10] для совместного приближения периодических функций тригонометрическими полиномами на случай совместного приближения аналитических в единичном круге функций комплексными алгебраическими полиномами в пространстве Бергмана.