|
Дистанционно регулярные графы с массивами пересечений $\{7,6,6;1,1,2\}$ и $\{42,30,2;1,10,36\}$ не существуют
А. А. Махневa, В. В. Биткинаb, А. К. Гутноваbc a Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского, Россия, 620990, Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16
b Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова, Россия, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 44–46
c Северо-Кавказский центр математических исследований, Россия, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 19
Аннотация:
Пусть $\Gamma$ — дистанционно регулярный граф диаметра 3 без треугольников, $u$ — вершина графа $\Gamma$, $\Delta^i=\Gamma_i(u)$ и $\Sigma^i=\Delta^i_{2,3}$. Тогда $\Sigma^i$ — регулярный граф без 3-коклик степени $k'=k_i-a_i-1$ на $v'=k_i$ вершинах. Заметим, что для несмежных вершин $y,z\in \Sigma^i$ имеем $\Sigma^i=\{y,z\}\cup \Sigma^i(y)\cup \Sigma^i(z)$. Поэтому для $\mu'=|\Sigma^i(y)\cap \Sigma^i(z)|$ имеем равенство $v'=2k'+2-\mu'$. Отсюда граф $\Sigma$ является кореберно регулярным с параметрами $(v',k',\mu')$. В работе доказано, что дистанционно регулярный граф с массивом пересечений $\{7,6,6;1,1,2\}$ не существует. В статье М. С. Нировой «On distance-regular graphs with $\theta_2=-1$» показано, что если существует сильно регулярный граф с параметрами $(176,49,12,14)$, в котором окрестности вершин являются $7\times 7$-решетками, то существует и дистанционно регулярный граф с массивом пересечений $\{7,6,6;1,1,2\}$. М. П. Голубятников заметил, что для дистанционно регулярного графа $\Gamma$ с массивом пересечений $\{7,6,6;1,1,2\}$ граф $\Gamma_2$ является дистанционно регулярным с массивом пересечений $\{42,30,2;1,10,36\}$. С помощью этого результата и вычисления тройных чисел пересечений доказано, что дистанционно регулярные графы с массивами пересечений $\{7,6,6;1,1,2\}$ и $\{42,30,2;1,10,36\}$ не существуют.
Ключевые слова:
дистанционно регулярный граф, граф без треугольников, тройные числа пересечений.
Поступила в редакцию: 14.12.2020
Образец цитирования:
А. А. Махнев, В. В. Биткина, А. К. Гутнова, “Дистанционно регулярные графы с массивами пересечений $\{7,6,6;1,1,2\}$ и $\{42,30,2;1,10,36\}$ не существуют”, Владикавк. матем. журн., 23:4 (2021), 68–76
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/vmj786 https://www.mathnet.ru/rus/vmj/v23/i4/p68
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 102 | PDF полного текста: | 21 | Список литературы: | 20 |
|