О подгруппах, богатых трансвекциями

Говорят, что подгруппа $H$ полной линейной группы $G=GL(n, R)$ порядка $n$ над кольцом $R$ богата трансвекциями, если она содержит элементарные трансвекции $t_{ij}(\alpha) = e + \alpha e_{ij}$ на всех позициях $(i, j)$, $i\neq j$ (для некоторых $\alpha\in R$, $\alpha\neq 0$). Настоящая работа посвящена вопросам, связанным с подгруппами, богатыми трансвекциями. Известно, что если подгруппа $H$ содержит матрицу-перестановку, соответствующую циклу длины $n$ и элементарную трансвекцию позиции $(i, j)$ такую, что $(i-j)$ и $n$ взаимно просты, то подгруппа $H$ богата трансвекциями. В настоящей заметке доказывается, что условие взаимной простоты $(i-j)$ и $n$ является существенным. Мы показываем, что для $n=2k$, цикла $\pi=(1\ 2\ \ldots n)$ и элементарной трансвекции $t_{31}(\alpha)$, $\alpha\neq 0$ группа $\langle (\pi), t_{31}(\alpha) \rangle$, порожденная элементарной трансвекцией $t_{31}(\alpha)$ и матрицей-перестановкой (циклом) $(\pi)$ не является подгруппой, богатой трансвекциями.