Partial integral operators of Fredholm type on Kaplansky–Hilbert module over $L_0$

В статье изучаются некоторые характеристические свойства самосопряженных частично интегральных операторов типа Фредгольма в модуле Капланского — Гильберта $L_{0}\left[L_{2}\left(\Omega _{1}\right)\right]$ над $L_{0}\left(\Omega _{2} \right)$. Используется математический инструментарий из теории модулей Капланского — Гильберта. В модуле Капланского — Гильберта $L_{0} \left[L_{2} \left(\Omega _{1} \right)\right]$ над $L_{0} \left(\Omega _{2} \right)$ рассматриваются частично интегральные операторы типа Фредгольма $T_{1}$ ($\Omega_{1}$ и $\Omega_{2}$ — замкнутые ограниченные множества в ${\mathbb R}^{\nu_{1}}$ и ${\mathbb R}^{\nu_{2}},$ $\nu _{1}, \nu _{2} \in {\mathbb N}$ соответственно). В работе доказано существование $L_{0}\left(\Omega_{2}\right)$-собственных значений, отличных от нуля для любого самосопряженного частично интегрального оператора типа Фредгольма $T_{1}$; более того, показано существование конечного или счетного числа вещественных $L_{0} \left(\Omega _{2} \right)$-собственных значений. В последнем случае, последовательности $L_{0} \left(\Omega _{2} \right)$-собственных значений порядково сходятся к нулевой функции. Установлена также теорема о разложимости оператора $T_{1}$ в ряд по $\nabla _{1} $ одномерным операторам.