Стирание особенностей функций с нулевыми интегралами по кругам

Пусть $\mathcal{M}$ и $\mathcal{N}$ — многообразия, ${\mathcal{D}}$ — область в $\mathcal{M}$ и $E \subset \mathcal{D}$ — замкнутое относительно $\mathcal{D}$ множество. Проблема стирания особенностей состоит в следующем: найти условия, при которых любое отображение $f :\mathcal{D}\setminus E \rightarrow \mathcal{N}$ из заданного класса можно продолжить до отображения $\mathbf{f }:\mathcal{D} \rightarrow \mathcal{N}$ с сохранением класса. Если указанное продолжение существует, то множество $E$ называют устранимым множеством в рассматриваемом классе отображений. Целью данной работы является исследование проблемы стирания особенностей в контексте свойств ядра локального преобразования Помпейю. Изучается класс $\mathfrak{K}_{+}$, состоящий из непрерывных функций на комплексной плоскости $ \mathbb{C}$, имеющих нулевые интегралы по всем кругам из $\mathbb{C}$, конгруэнтным единичному кругу относительно сферической метрики. Аналогом группы евклидовых движений в этом случае является группа дробно-линейных преобразований $\mathrm{PSU}(2)$. Найдено точное условие, при котором функции рассматриваемого класса, доопределенные соответствующим образом в бесконечно удаленной точке, обладают указанным свойством на расширенной комплексной плоскости $ \overline{\mathbb{C}}$. Доказательство основного результата базируется на подходящем описании класса $\mathfrak{K}_{+}$. Центральным инструментом в этом описании являются ряды Фурье по сферическим гармоникам. Показано, что коэффициенты Фурье функции $f\in\mathfrak{K}_{+}$ представимы рядами по функциям Якоби. Дальнейшее доказательство состоит в изучении асимптотического поведения указанных рядов при подходе к особой точке. Результаты, полученные в работе, можно использовать при решении задач, связанных со сферическими средними.