Blow-up result for a class of wave $p$-Laplace equation with nonlinear dissipation in $\mathbb{R}^{n}$

Уравнение Лапласа изучалось в несколько этапов и получило бурное развитие в течение последних десятилетий. Начиная с хорошо известного стандартного уравнения $\Delta u=0$, которое хорошо изучено во всех аспектах, были усилены многие результаты и найдены новые постановки. Переход к $p$-уравнению Лапласа $\Delta_p u = 0$ с постоянным параметром, будь то в стационарных или эволюционных системах, привел к беспрецедентному развитию и почти исчерпывающему исследованию. В данной статье мы рассматриваем начальную задачу для нелинейного волнового уравнения, содержащего $p$-лапласиан. Методом от противного доказано, что класс решений с отрицательной начальной энергией взрывается за конечное время, если $p\geq r\geq m$. Чтобы получить основной вывод, необходимо обойти дополнительные трудности, связанные с постоянными показателями в $\mathbb{R}^n$. Получено условие на начальные данные, при которых решение исчезает за конечное время. В отсутствие функции плотности наша система сводится к нелинейному уравнению затухающей волны, которое в ограниченной области активно изучалось многими математиками.