Некоторые свойства ортогонально аддитивных полиномов в банаховых решетках

Пусть $E$ и $F$ — банаховы решетки, а $\mathcal{P}_o({}^s E,F)$ и $\mathcal{P}_o^r({}^s E,F)$ обозначают соответственно пространства непрерывных и регулярных ортогонально аддитивных $s$-однородных полиномов, действующих между банаховыми решетками $E$ и $F$. Основные результаты статьи таковы.
Теорема 3.4. Пусть $s\in\mathbb{N}$ and $(E,\|\cdot\|)$ — порядково $\sigma$-полная $s$-выпуклая банахова решетка. Равносильны следующие утверждения: $(1)$ $\mathcal{P}_o({}^s E,F)\equiv\mathcal{P}_o^r({}^s E,F)$ для любого $AM$-пространства $F$; $(2)$ $\mathcal{P}_o({}^s E,c_0)=\mathcal{P}^r_o({}^s E,F)$ для любого $AM$-пространства $F$; $(3)$ $\mathcal{P}_o({}^s E,c_0)=\mathcal{P}^r_o({}^s E,c_0)$; $(4)$ $\mathcal{P}_o({}^s E,c_0)\equiv\mathcal{P}_o^r({}^s E,c_0)$; $(5)$ $E$ дискретна и порядково непрерывна.
Теорема 4.3. Пусть $E$ и $F$ — банаховы решетки, причем $E$ $s$-выпукла для некоторого натурального $s\in\mathbb{N}$. Тогда равносильны следующие утверждения: $(1)$ $\mathcal{P}_o^r({}^s E,F)$ — векторная решетка и регулярная норма. $\|\cdot\|_r$ on $\mathcal{P}_o^r({}^s E,F)$ на ней порядково непрерывна. $(2)$ Каждый положительный $s$-однородный ортогонально аддитивный полином из $E$ в $F$ является $L$- и $M$-слабо компактным.
Теорема 4.6. Пусть $E$ и $F$ — банаховы решетки, причем $F$ обладает положительным свойством Шура, а $E$ $s$-выпукла для некоторого $s\in\mathbb{N}$. Тогда равносильны утверждения: $(1)$ $(\mathcal{P}_o^r({}^s E,F),\|\cdot\|_r)$ является $K B$-пространством. $(2)$ Регулярная норма $\|\cdot\|_r$ пространства $\mathcal{P}_o^r({}^s E,F)$ порядково непрерывна. $(3)$ $E$ не содержит подрешеток, изоморфных $l^s$.