Теоремы типа Ритта–Сугимуры

В конце девятнадцатого века Э. Борель естественным образом ввел понятие порядка целой функции, а затем была получена соответствующая формула для вычисления этой величины через коэффициенты тейлоровского разложения данной функции. Позже Дж. Риттом это понятие было распространено и на целые функции, представленные рядами Дирихле с положительными показателями. Им же получена аналогичная формула для этой характеристики ($R$-порядка), явно зависящая от коэффициентов и показателей ряда Дирихле. В работах А. М. Гайсина этот результат был полностью перенесен на случай полуплоскости, а также для ограниченной выпуклой области. В последнем случае речь идет о рядах Дирихле с комплексными показателями — рядах экспонент. В настоящей статье в терминах порядка по Ритту ($R$-порядка) изучается связь между ростом ряда Дирихле и коэффициентами разложения. Отдельно рассмотрены случаи, когда ряд сходится равномерно во всей плоскости или лишь в некоторой полуплоскости. В обоих случаях получены необходимые и достаточные условия на показатели, при выполнении которых верны соответствующие формулы, позволяющие вычислить эту величину через коэффициенты ряда. Все ранее известные результаты такого типа носили только достаточный характер. В случае плоскости нами показана точность оценок С. Танаки для $R$-порядка.