A Bernstein–Nikol'skii inequality for weighted Lebesgue spaces

В работе устанавливаются результаты, касающиеся неравенства Бернштейна–Никольского в весовых пространствах Лебега. Основной результат содержится в следующем утверждении. Пусть $1 < u, p < \infty$, $0<q+ 1/p<v +1/u<1,$ $v-q\geq 0$, $\kappa >0$, $f \in L^u_v(\mathbb R)$ и $\mathrm{supp}\,\widehat{f} \subset [-\kappa, \kappa]$. Тогда $D^mf \in L^p_q(\mathbb R)$, $\mathrm{supp}\,\widehat{D^m f}=\mathrm{supp}\,\widehat{f}$ и существует такая постоянная $C$, независящая от $f$, $m$ и $\kappa$, что $ \|D^mf\|_{L^p_{q}} \leq C m^{-\varrho} \kappa^{m+\varrho} \|f\|_{ L^u_v}$ для всех $m = 1,2,\dots $, где $\varrho=v + \frac{1}{u} -\frac{1}{p} - q>0$ и весовое пространство Лебега $L^p_q$ состоит из всех измеримых функций, для которых $\|f\|_{L^p_q} = \Big(\int_{\mathbb R} |f(x)|^p |x|^{pq} dx\Big)^{1/p}< \infty.$ Более того, $ \lim_{m\to \infty}\|D^mf\|_{L^p_{q}}^{1/m}= \sup \{|x|: x \in \mathrm{supp}\,\widehat{f}\}.$ Главным достижением нашего результата является то, что в правой части неравенства содержится множитель $m^{-\varrho}$ ($\varrho>0$), который ранее никогда не появлялся в аналогичных исследованиях других авторов. Соответствующий результат получен также для $n$-мерного случая.