Три теоремы о матрицах Вандермонда

Рассматриваются алгебраические вопросы, связанные с дискретным преобразованием Фурье, определенным при помощи симметричной матрицы Вандермонда $\Lambda$. Основное внимание в первых двух теоремах уделяется выработке формулировок, независящих от размера $N\times N$ матрицы $\Lambda$ и явных формул для элементов матрицы $\Lambda$ через корни уравнения $\lambda^N = 1$. В третьей теореме рассматриваются рациональные функции $f (\lambda)$, $\lambda\in \mathbb{C}$, удовлетворяющие условию «вещественности» $f (\lambda) = f\big(\frac{1}{\lambda}\big)$ на всей комплексной плоскости и связанные с известной задачей о коммутировании симметричных матриц Вандермонда $\Lambda$ с (симметричными) трехдиагональными матрицами $T$. Показано, что уже несколько первых уравнений коммутирования и указанное выше условие вещественности определяют вид рассматриваемых рациональных функций $f (\lambda)$, а найденные уравнения для элементов трехдиагональных матриц $T$ не зависят от порядка $N$ коммутирующих матриц. Полученные уравнения и приведенные примеры позволяют высказать гипотезу о том, что рассматриваемые рациональные функции являются обобщением многочленов Чебышева. В определенном смысле аналогичная гипотеза была высказана в недавно опубликованной в журнале «Теоретическая и математическая физика» работе В. М. Бухштабера с соавторами, где обсуждаются приложения этих обобщений в современной математической физике.