Unbounded order convergence and the Gordon theorem

Знаменитая теорема Гордона является естественным инструментом для построения универсального пополнения архимедовой векторной решетки. Она позволяет нам уточнить некоторые недавние результаты о неограниченной порядковой сходимости. Применяя теорему Гордона, мы демонстрируем несколько фактов о сходимость последовательностей. В частности, приводится элементарное доказательство теоремы Гао — Гроблера — Троицкого — Хантоса о том, что последовательность в архимедовой векторной решетке $uo$-сходится к нулю (соответственно, является $uo$-фундаментальной) тогда и только тогда когда она порядково сходится к нулю (соответственно, является порядково сходящейся) в универсальном пополнении этой решетки. В статье дается простое доказательство известной теоремы о том, что архимедова векторная решетка секвенциально $uo$-полна тогда и только тогда когда она $\sigma$-универсально полна. Кроме того в статье дается полное решение недавней проблемы Азози о конечномерности всякой архимедовой векторной решетки в которой любая $uo$-фундаментальная последовательность порядково сходится в универсальном пополнении этой решетки.