Isometries of real subspaces of self-adjoint operators in banach symmetric ideals

Пусть $(\mathcal C_E, \|\cdot\|_{\mathcal C_E})$ банахов симметричный идеал компактных операторов, действующих в комплексном сепарабельном бесконечномерном гильбертовом $\mathcal H$. Пусть $\mathcal C_E^h=\{x\in \mathcal C_E : x=x^*\}$ действительное банахово подпространство самосопряженных операторов в $(\mathcal C_E, \|\cdot\|_{\mathcal C_E})$. Доказывается, что в случае, когда $(\mathcal C_E, \|\cdot\|_{\mathcal C_E})$ есть сепарабельный или совершенный банахов симметричный идеал ($\mathcal C_E \neq \mathcal C_2$) каждый косоэрмитовый оператор $H: \mathcal C_E^h\to \mathcal C_E^h$ имеет следующий вид $H(x)=i(xa - ax)$ для некоторого $a^*=a \in \mathcal B(\mathcal H)$ и для всех $x\in \mathcal C_E^h$. Используя это описание косоэрмитовых операторов мы получаем следующий общий вид сюръективных линейных изометрий $V:\mathcal C_E^h \to \mathcal C_E^h$: Пусть $(\mathcal C_E, \|\cdot\|_{\mathcal C_E})$ сепарабельный или совершенный банахов симметричный идеал с неравномерной нормой, т. е. $\|p\|_{\mathcal C_E}> 1$ для всех конечномерных проекторов $p \in\mathcal C_E$ с $\dim p(\mathcal H)>1$, пусть $\mathcal C_E \neq \mathcal C_2$, и пусть $V: \mathcal C_E^h \to \mathcal C_E^h$ сюръективная линейная изометрия. Тогда существует такой унитарный или антиунитарный оператор $u$ на $\mathcal H$, что $V(x)=uxu^*$ или $V(x)=-uxu^*$ для всех $x \in \mathcal C_E^h$.