$2$-Local isometries of non-commutative Lorentz spaces

Пусть $\mathcal M $ алгебра фон Неймана с точным нормальным конечным следом $\tau$, и пусть $S\left( \mathcal{M}, \tau\right)$ инволютивная алгебра всех $\tau $-измеримых операторов, присоединенных к алгебре $\mathcal M $. Для оператора $x \in S\left( \mathcal{M}, \tau\right)$ невозрастающая перестановка $\mu(x):t\rightarrow \mu(t;x)$, $t>0$, определяется с помощью равенства $\mu(t;x)=\inf\{\|xp\|_{\mathcal{M}}:\, p^2=p^*=p \in \mathcal{M}, \, \tau(\mathbf{1}-p)\leq t\}.$ Пусть $\psi$ возрастающая вогнутая непрерывная функция на $[0,\infty)$, для которой $\psi(0) = 0$, $\psi(\infty)=\infty$. Пусть $\Lambda_\psi(\mathcal M,\tau) = \left\{x \in S\left( \mathcal{M}, \tau\right): \, \| x \|_{\psi} =\int_0^{\infty} \mu(t;x) d \psi(t) < \infty \right \}$ некоммутативное пространство Лоренца. Сюръективное (не обязательно линейное) отображение $V: \Lambda_\psi(\mathcal M,\tau) \to \Lambda_\psi(\mathcal M,\tau)$ называется сюръективной $2$-локальной изометрией, если для любых $x, y \in \Lambda_\psi(\mathcal M,\tau) $ существует такая сюръективная линейная изометрия $V_{x, y}: \Lambda_\psi(\mathcal M,\tau) \to \Lambda_\psi(\mathcal M,\tau)$, что $V(x) = V_{x, y}(x)$ и $V(y) = V_{x, y}(y)$. Доказано, что в случае, когда $\mathcal{M}$ есть фактор, каждая сюръективная $2$-локальная изометрия $V:\Lambda_\psi(\mathcal M,\tau) \to \Lambda_\psi(\mathcal M,\tau)$ есть линейная изометрия.