Алгебраическая запись полиномов Бернштейна на симметричном отрезке и связанные с ней комбинаторные соотношения

Ставится вопрос о явной алгебраической записи полиномов Бернштейна по степеням независимой переменной. Кратко обсуждается общая постановка задачи на произвольном отрезке $[a,b]$. Для полноты картины напоминаются формулы Вигерта, действующие для коэффициентов полиномов Бернштейна на стандартном отрезке $[0,1]$. В центре внимания сейчас другой случай — симметричного отрезка $[-1,1]$, что представляет несомненный интерес для теории аппроксимации. В работе найдены выражения, регулирующие образование коэффициентов полиномов Бернштейна на $[-1,1]$. Для интерпретации ответа потребовалось ввести новые числовые объекты — специальные «трапеции Паскаля». Они строятся аналогично классическому треугольнику по своим «начальным» и «краевым» условиям. С трапециями Паскаля связаны разнообразные соотношения, во многом обобщающие привычные комбинаторные тождества. В работе проведено систематическое исследование подобных свойств; составлена сводка основных формул. Полученные результаты находят применение при изучении поведения коэффициентов полиномов Бернштейна на $[-1,1]$. Так, например, оказывается, что есть универсальная связь двух коэффициентов $a_{2m,m}(f)$ и $a_{m,m}(f)$, действующая при всех $m\in\mathbb{N}$ для любой функции $f\in C[-1,1]$. В итоге установлено существенное отличие картины на $[-1,1]$ от случая стандартного отрезка $[0,1]$. Намечен ряд перспективных тем для дальнейших исследований, часть из которых активно проводится в последнее время.