Разложение элементарной трансвекции в элементарной сетевой группе

Работа связана с изучением элементарных сетей (ковров) $\sigma =(\sigma_{ij})$ и элементарных сетевых групп $E(\sigma)$. А именно, приводится разложение элементарной трансвекции в элементарной сетевой группе $E(\sigma)$. Наборы подмножеств (идеалов, аддитивных подгрупп и др.) $\sigma=\{\sigma_{ij}:\, 1\leq i, j\leq n\}$ определенного ассоциативного кольца с условиями $\sigma_{ir}\sigma_{rj}\subseteq\sigma_{ij},$ $1\leq i,r,j\leq n,$ возникали при решении различных задач. Такие наборы назывались коврами или сетями, а связанные с ними кольца и группы — ковровыми, сетевыми, обобщенными конгруэнц-подгруппами и др. Назовем элементарную сеть (сеть без диагонали) $\sigma$ замкнутой (допустимой), если подгруппа $E(\sigma)$ не содержит новых элементарных трансвекций. Настоящая статья мотивирована вопросом В. М. Левчука (Коуровская тетрадь, вопрос 15.46) о том, что необходимым и достаточным условием допустимости (замкнутости) элементарной сети $\sigma$ является допустимость (замкнутость) всех пар $(\sigma_{ij}$, $\sigma_{ji})$. Другими словами, включение элементарной трансвекции $t_{ij}(\alpha)$ в элементарную группу $E(\sigma)$ эквивалентно включению $t_{ij}(\alpha)$ в подгруппу $\langle t_{ij}(\sigma_{ij}), t_{ji}(\sigma_{ji}) \rangle$ (для любых $i\neq j$). Тем самым становится актуальным разложение элементарной трансвекции $t_{ij}(\alpha)$ в элементарной сетевой группе $E(\sigma)$. Рассматривается элементарная сеть порядка $n$ (элементарный ковер) $\sigma = (\sigma_{ij})$ аддитивных подгрупп коммутативного кольца (сеть без диагонали), связанная с $\sigma$ производная сеть $\omega=(\omega_{ij})$, сеть $\Omega=(\Omega_{ij})$, ассоциированная с элементарной группой $E(\sigma)$, причем $\omega\subseteq\sigma\subseteq\Omega$ и сеть $\Omega$ является наименьшей (дополняемой) сетью, содержащей элементарную сеть $\sigma$. Пусть $R$ — произвольное коммутативное кольцо с единицей, $n$ — натуральное число, $n\geq 2$. Система $\sigma=(\sigma_{ij})$, $1\leq{i, j} \leq{n},$ аддитивных подгрупп $\sigma_{ij}$ кольца $R$ называется сетью (ковром) над кольцом $R$ порядка $n$, если $ \sigma_{ir} \sigma_{rj} \subseteq{\sigma_{ij}}$ при всех значениях индексов $i$, $r$, $j.$ Сеть, рассматриваемая без диагонали, называется элементарной сетью (элементарный ковер). Получено разложение элементарной трансвекции $t_{ij}(\alpha)$ из $E(\sigma)$ в произведение $t_{ij}(\alpha)=ah$ двух матриц $a$ и $h$, где $a$ — элемент группы $\langle t_{ij}(\sigma_{ij}), t_{ji}(\sigma_{ji}) \rangle$, $h$ — элемент сетевой группы $G(\tau)$, где $\tau =\begin{pmatrix} \tau_{ii} & \omega_{ij} \omega_{ji} & \tau_{jj} \end{pmatrix},$ $\omega_{ii}\subseteq \tau_{ii} \subseteq \Omega_{ii}$. В работе получены важные характеристики матриц $a$ и $h$, участвующих в разложении элементарной трансвекции $t_{ij}(\alpha)$.