К вопросу исследования задачи определения матричного ядра системы уравнений анизотропной вязкоупругости

Рассматривается обратная задача определения матричного ядра ${K(t)\!=\!(K_1, K_2, K_3)(t)}$, $t\in [0,T],$ входящего в систему интегро-дифференциальных уравнений анизотропной вязкоупругости. Прямая начально-краевая задача состоит в определении вектор-функции смещения $u(x,t)=(u_1,u_2,u_3)(x,t),$ $x=(x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3,$ $x_3>0$. Предполагается, что коэффициенты уравнений системы (плотность и модули упругости) зависят только от пространственной переменной $x_3>0$. Источник возмущения упругих волн сосредоточен на границе области $x_3=0$ и представляет собой дельта-функцию Дирака (граничное условие Неймана специального вида). Обратная задача сводится к изученным ранее задачам определения скалярных ядер $K_i(t)$, $i=1,2,3$. В качестве дополнительного условия задается значение преобразования Фурье по $x_2$ от функции $u(x,t)$ на поверхности $x_3=0$. Приводятся теоремы глобальной однозначной разрешимости и устойчивости решения обратной задачи. Идея доказательства глобальной разрешимости состоит в применении принципа сжатых отображений к системе нелинейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода в банаховом пространстве с весовыми нормами.