Сходимость процессов Лагранжа–Штурма–Лиувилля для непрерывных функций ограниченной вариации

Установлена равномерная сходимость внутри интервала $(a,b)\subset [0,\pi]$ процессов Лагранжа, построенных по собственным функциям задачи Штурма–Лиувилля $L_n^{SL}(f,x)=\sum\nolimits_{k=1}^{n} f(x_{k,n})\frac{U_n(x)}{U_{n}'(x_{k,n})(x-x_{k,n})}$. (Здесь через $0<x_{1,n}<x_{2,n}<\dots<x_{n,n}<\pi$ обозначены нули собственной функции $U_n$ задачи Штурма–Лиувилля.) Непрерывные на $[0,\pi]$ функции $f$ ограниченной вариации на $(a,b)\subset [0,\pi]$ могут быть равномерно приближены внутри интервала $(a,b)\subset [0,\pi]$. Получен признак равномерной сходимости внутри интервала $(a,b)$ интерполяционных процессов, построенных по собственным функциям регулярной задачи Штурма–Лиувилля. Условие признака сформулировано в терминах максимума суммы модулей разделенных разностей функции $f$. Вне интервала $(a,b)$ построенный интерполяционный процесс может расходиться. Установлена ограниченность в совокупности фундаментальных функций Лагранжа, построенных по собственным функциям задачи Штурма–Лиувилля. Рассмотрен случай регулярной задачи Штурма–Лиувилля с непрерывным потенциалом ограниченной вариации. Изучены краевые условия задачи Штурма–Лиувилля третьего рода без условий Дирихле. При наличии сервисных функций вычисления собственных функций регулярной задачи Штурма–Лиувилля изучаемый оператор Лагранжа–Штурма–Лиувилля легко реализуется на вычислительной технике.