$L_p-L_q$-оценки для операторов типа потенциала с осциллирующими ядрами

Получены $L_p-L_q$-оценки для обобщенных потенциалов Рисса с осциллирующими ядрами и характеристиками широкого класса, включающего произведение однородной функции, бесконечно дифференцируемой в $\Bbb R^n\setminus\{0\}$, и функции класса $C^{m,\gamma}(\dot{R}^1_{+})$. Описаны выпуклые множества $(1/p,1/q)$-плоскости, для точек которых упомянутые операторы ограничены из $L_p$ в $L_q$, и указаны области, где эти операторы не ограничены. В некоторых случаях доказана точность полученных оценок. В частности, получены необходимые и достаточные условия ограниченности исследуемых операторов в $L_p$. В настоящее время имеется ряд работ по $L_p-L_q$-оценкам для операторов свертки с осциллирующими ядрами, в частности, для операторов Бохнера–Рисса и акустических потенциалов, возникающих в различных задачах анализа и математической физики. В этих работах рассматриваются ядра, содержащие только радиальную характеристику $b(r)$, которая стабилизируется на бесконечности как гёльдеровская функция. Благодаря этому свойству получение оценок для указанных операторов сводилось к случаю оператора с характеристикой $b(r)\equiv1$. Подобное сведение в принципе невозможно, когда ядро потенциала Рисса содержит однородную характеристику $a(t')$. Поэтому в работе развивается новый метод, основанный на получении специальных представлений для символов рассматриваемых операторов с последующим применением техники Фурье-мультипликаторов, вырождающихся или имеющих особенности на единичной сфере в $\mathbb{R}^n$.